Доверительным интервалом для параметра q называется интервал (q₁, q₂), содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью p=1-a.

p — доверительная вероятность,

a — уровень значимости.

Доверительные интервалы для параметров m и s²
нормально распределенной генеральной совокупности

Читать далее →

Задача 1.6 (Ефимов)

Построить полигоны частот и накопленных частот для выборки, представленной статистическим рядом

Задача 1.8 (Ефимов)

Построить график эмпирической функции распределения по данным задачи 1.6.

Задача 1.10 (Ефимов).

Построить гистограммы частот, полигоны относительных накопленных частот и определить квантили порядка p=0.25 для группированных выборок.

Оценить мат. ожидание и дисперсию.

Гистограмма частот группированной выборки — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна относительной частоте.

Полигон относительных накопленных частот — ломаная с вершинами в точках , где b — длина интервала разбиения.

Решение.

Составим таблицу

Гистограмма частот группированной выборки

Полигон относительных накопленных частот

Выборочной квантилью порядка p называется абсцисса x_p точки, лежащей на кривой полигона накопленных частот и имеющей ординатуp.

p=0,25 x_p=36

Оценка параметра 1) состоятельная (при увеличении n стремится по вероятности с значению параметра);

2) несмещенная (M[a*]=a);

3) эффективная (D[a*] минимальна).

Оценка мат. ожидания

Оценка дисперсии

Задача 1.21

Вычислить выборочное среднее и оценку дисперсии для выборки:

3.1, 3.0, 1.5, 1.8, 2.8, 3.1, 2.4, 2.8, 1.3.

Метод максимального правдоподобия.

Задача 2.21

Методом МП найти оценку параметра s по выборке объема n из нормально распределенной генеральной совокупности с мат. ожиданием m. Показать, что оценка будет смещенной.

Решение.

Составим функцию правдоподобия:

Удобнее перейти к логарифму. Получим

Из последнего получаем

Полученная оценка является смещенной (сравните с оценкой для дисперсии).

Дома. 1.7, 1.12, 2.23 (Ефимов)

Первое неравенство Чебышева:

Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание Mx, при любом e>0 справедливо соотношение

Если случайная величина X имеет конечный первый абсолютный момент M[|X|], то при любом e>0 справедливо соотношение

Пример.

Пусть X — время опоздания студента на лекцию. Известно, что Mx=1 мин. Оценить вероятность опоздания более чем на 5 мин.

Решение.

Читать далее →

Формула свертки.

Пусть X₁ и X₂ — независимые случайные величины, а случайная величина является их суммой: Y= X₁ + X₂.

Плотность распределения случайной величины Y вычисляется по формуле:

или

которую называют формулой свертки.

Читать далее →

Определение 1. Случайную величину Y, которая каждому элементарному исходу w ставит в соответствие число

Y (w)=Y (X (w))

называют функцией Y(X) (скалярной) от скалярной случайной величины X.

Функция от дискретной случайной величины является дискретной случайной величиной. Если случайная величина имеет ряд распределения, представленный в таблице 1,

Таблица 1

Читать далее →

Двумерное нормальное распределение

Если X₁ и X₂ — независимые случайные величины, то

В общем случае

где

— положительно определенная квадратичная форма.

m=(m₁, m₂ ) — вектор математических ожиданий
вектора X=(X₁, X₂);

s=(s₁, s₂) — вектор средних квадратичных
отклонений вектора X=(X₁, X₂);

число r, |r|<1, коэффициент корреляции случайных
величин X₁, X₂.

Матрица ковариаций (ковариационная матрица)
вектора X=(X₁, X₂);

, где .

Читать далее →

Дискретная двумерная случайная величина.

Задача 1.

В соответствии со схемой Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q=1-p проводятся два испытания.
Выпишем распределение двумерного случайного вектора (X₁; X₂), где X_i, i=1,2, — число успехов в i-м испытании.

Решение.
Читать далее →

Задача 4.31.

Непрерывная случайная величина X распределена по экспоненциальному закону с параметром l=0,2. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0, 2).

Ответ: p=1-e^-0,4 " 0,33.

Задача.

Непрерывная случайная величина X имеет следующую плотность распределения:

Определить:

а) коэффициент a; б) функцию распределения F (x);

в) графики p (x) и F (x);

г) вероятность P{2

величины X в интервал (2, 3);

д) вероятность того, что при четырех независимых испытаниях случайная величина X ни разу не попадет в интервал (2, 3).

Решение.

1) Для нахождения коэффициента a воспользуемся свойством плотности распределения . Имеем . Отсюда a=1.

2) Вычисляем F (x) по определению:

Читать далее →

Случайной величиной называют числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом.

Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F (x), значение которой в точке x равно вероятности события {X

X ()

F (x)= P{X

Читать далее →

Подготовка к контрольной работе.

Задача 1.

При одном цикле обзора радиолокационной станции,

следящей за космическим объектом, объект обнаруживают с вероятностью p. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найдите вероятность того, что при n циклах объект будет обнаружен.

Ответ: P=1- (1-p)ⁿ.

Читать далее →

Повторные испытания — это последовательное проведение n раз одного и того же опыта или одновременное проведение n одинаковых опытов.

Схемой Бернулли (или биномиальной схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую

следующим условиям:

1) при каждом испытании различают лишь два исхода :

появление некоторого события A , называемого «успехом» ,

либо появление дополнения , называемого " неудачей";

2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в k-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до k-го;

3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна

P(A) = p.

Читать далее →

Пусть в результате опыта может произойти одно из n событий H₁, H₂, ... , H_n, которые

а) попарно несовместные, т. е. H_i H_j = Æ при i ¹ j;

б) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, т.е. их объединение есть достоверное событие.

События H₁, H₂, ... , H_n называют гипотезами. Гипотезы образуют полную группу событий.

Пусть также имеется некоторое событие A.

Пусть известны вероятности гипотез P (H₁), ..., P (H_n), которые отличны от нуля и условные вероятности P (A|H₁), ... , P (A|H_n),

появления события A при выполнении этих гипотез.

Читать далее →

Теорема сложения и умножения вероятностей

Алгебра событий.

Любой набор элементарных исходов, т.е. произвольное подмножество пространства элементарных исходов называют событием.

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным.

Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, называют невозможным.

Операции над событиями (пересечение (произведение), объединение (сумма)) и дополнение события определяются как соответствующие операции над подмножествами пространства элементарных исходов. Свойства операций над событиями аналогичны свойствам этих операций над множествами.

Задача 1.16 (XVI). Пусть A, B и C ‑ случайные события. Выясните смысл равенств а) ABC=A; б)

Ответ:

Читать далее →

Задание для самостоятельной работы (2.18)

Набирая номер телефона , абонент забыл две последние цифры и , помня лишь то , что эти цифры различны , набрал их наугад . Определить вероятность того , что набраны нужные цифры.

Задача 1. Из колоды в 52 карты выбирают наудачу 3 без возвращения. Найти вероятность того, что среди этих карт будут тройка, семерка и туз «пик».

Решение.

Читать далее →

Основная формула комбинаторики.
Пусть даны m групп по n_i элементов в каждой. Общее количество способов, которыми можно выбрать набор из m элементов по одному элементу из каждой группы:

N= n₁ n₂ ... n_m

Задача 1.

Имеется 3 ящика с радиодеталями. В первом — n₁ = 20 резисторов, во втором — n₂ = 15 конденцаторов, в третьем — n₃ = 10 транзисторов. Сколько вариантов наборов из трех различных деталей можно собрать?

Ответ: N= n₁ n₂ n₃= 20•15•10 = 3000

Читать далее →

Определение. Систему функций , называют ортогональной, если для любых имеет место равенство нулю интеграла от произведения функций

. (1)

Ортогональную систему функций называют орто­нор­ми­рованной, если выполняется равенство

. (2)

Читать далее →

Пусть функция f (x) задана в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные любого порядка. Тогда степенной ряд

, называют рядом Тейлора функции f (x) в точке .

При ряд Тейлора называют рядом Маклорена.

Читать далее →

Читать далее →

Числовой ряд:

Пример 1. Пусть . Написать 4-5 первых членов ряда по известному общему члену.

Ответ: Первые четыре члена ряда имеют вид:

Читать далее →