Определение 1. Случайную величину Y, которая каждому элементарному исходу w ставит в соответствие число

Y (w)=Y (X (w))

называют функцией Y(X) (скалярной) от скалярной случайной величины X.

Функция от дискретной случайной величины является дискретной случайной величиной. Если случайная величина имеет ряд распределения, представленный в таблице 1,

Таблица 1

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

то ряд распределения случайной величины Y(X) задается таблицей 2. При этом столбцы с одинаковыми значениями Y(x_i)объединяются, а записанные в них вероятности суммируются.

Таблица 2

Y	Y (x1)	Y (x2)	...	Y (xn)
P	p1	p2	...	pn

Задача № 6.20.

Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения, представленный в таблице. Найдите распределение случайной величиныY =-X²

X	-0,5	0	0,5	1	1,5
P	0,1	0,4	0,1	0,3	0,1

Ответ.

Y	-2,25	-1	-0,25	0
P	0,1	0,3	0,2	0,4

Пример 1.

Случайная величина распределена равномерно в интервале
(-p/2, p/2 ). Найти закон распределения случайной величины y=sin x.

Решение

Плотность распределения y=sin x.

Рис.1 Рис. 2

Схема вычислений

1. Функция монотонна на заданном интервале

2. Плотность распределения вероятностей

3. Функция y=sin x.

4. Обратная функция x=arcsin y

5. Модуль производной обратной функции

6. Плотность распределения случайной величины y

Пример 2.

Случайная величина распределена равномерно в интервале
(-p/2, p/2 ). Найти плотность распределения случайной величины y=cos x.

Схема решения

1. Функция y=cos x немонотонна в интервале. Имеется два участка монотонности.

2. Плотность распределения вероятностей

3. Функция y=cos x.

4. Обратная функция x = y₁ = - arccos y

x= y₂ = arccos y

5. Модуль производной обратной функции

6. Искомая плотность

Задача № 6.21.

Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, 3). Найдите функцию распределения случайной величины Y=X²+1.

Задача № 6.22 (a)

Случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с параметром l. Найдите плотность распределения случайной величиныY=e^-X

Задача 5.

Какому функциональному преобразованию нужно подвергнуть случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (0,1), чтобы получить случайную величину Y,

распределенную по показательному закону

Задача № 6.23 (а).

Случайная величина X распределена по нормальному закону со средним значением m и дисперсией s² . Найдите плотность распределения случайной величины Y=|X|.

Дома.

6.20 (а,в), 6.22 (а,г), 6.23 (г).