Семинар 18. Многомерные случайные величины

Формула свертки.

Пусть X₁ и X₂ — независимые случайные величины, а случайная величина является их суммой: Y= X₁ + X₂.

Плотность распределения случайной величины Y вычисляется по формуле:

или

которую называют формулой свертки.

Задача 1

Пусть X₂ распределена нормально,

а X₁ имеет равномерная плотность на отрезке a, b:

при a < x₁ < b.

Найти плотность распределения случайной величины
Y= X₁ + X₂.

Решение.
Используя формулу свертки и учитывая, что
при x₁< a и x₁>b, получим:

Под интегралом записана плотность распределения нормально распределенной случайной величины с средним квадратичным отклонением s и мат. ожиданием y— m. Весь интеграл выражает вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на участок от a до b.

Имеем:

Скалярная функция
от двумерной случайной величины.

Пример.

Пусть (X₁ , X₂) — двумерный случайный вектор, имеющий стандартное нормальное распределения.

Найти распределение случайной величины

.

Решение.

Найдем функцию распределения величины Y.

Удобно перейти к полярным координатам

Числовые характеристики случайных величин

Задача 3.

Система случайных величин X и Y имеет следующие числовые характеристики:

Mx=10, My=5, s_x=0.1, s_y=0.05, r_xy=0,8.

Найти Mu, Mv, s_u, r_uv , где U=3X+Y, V=X-Y.