Семинар 19. Предельные теоремы

Первое неравенство Чебышева:

Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание Mx, при любом e>0 справедливо соотношение

Если случайная величина X имеет конечный первый абсолютный момент M[|X|], то при любом e>0 справедливо соотношение

Пример.

Пусть X — время опоздания студента на лекцию. Известно, что Mx=1 мин. Оценить вероятность опоздания более чем на 5 мин.

Решение.

Задача 9.14.

Средний ежедневный расход воды в некотором населенном пункте составляет 50 000 л. Оцените с помощью первого неравенства Чебышева вероятность того, что в произвольно выбранный день расход воды в этом пункте превысит 150 000 л.

Ответ. P{X>150 000} < 1/3.

Второе неравенство Чебышева.

а) Если существует второй начальный момент M[X²], то при любом e>0 справедливо соотношение

(соответственно )

б) Для каждой случайной величины X, имеющей дисперсию Dx=s², при любом e>0 справедливо

(соответственно )

Задача 9.16.

Среднее квадратичное отклонение погрешности измерения курса самолета равно 2°. Считая математическое ожидание погрешности измерения равным нулю, оцените с помощью второго неравенства Чебышева вероятность того, что погрешность одного измерения курса самолета превысит 5°.

Ответ: P{|X|>5°}<0,16.

Задача 5.1 (Ефимов)

Случайная величина X имеет характеристики M[X]=M_x=1, s_x=0.2. Оценить снизу вероятности событий

A={0.5 £ x < 1.5},

B={0.75 £ x < 1.25},

C={x<2} (Указание к С: Оценить вероятность |x|<2 ).

Задача 5.2 (Ефимов)

Измеряется скорость ветра в некотором пункте Земли. Случайная величина X — абсолютная величина проекции вектора скорости на фиксированное направление.

1) Оценить вероятность события A={X ³ 80 км/ч}, если M[X]=16 км/час

2) Как изменится оценка, если известно, что s=4 км/ч.

Задача 5.3 (Ефимов)

С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность P (|X-M[X]|£ks_x), k=1,2,3, а X — нормально распределенная случайная величина с параметрами Mx и s_x и сравнить с истинными вероятностями.

Центральная предельная теорема

Пусть X₁, X₂, ..., X_n, ...— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, MX_n=m, DX_n=s². Тогда

Задача 9.36.

Производится выборочное обследование большой партии электрических лампочек для определения среднего времени их горения. Среднее квадратичное отклонение времени горения лампочки равно s=80 ч. Из всей партии наудачу выбирается 400 лампочек. Воспользовавшись центральной предельной теоремой, оцените вероятность того, что среднее (мат. ожидание) время горения лампочки будет отличаться от наблюденного среднего времени горения выбранных 400 лампочек не более чем на 10 ч.

Ответ: 0,98738

Закон больших чисел в форме Бернулли.

Пусть производится n испытаний по схеме Бернулли и Y_n — общее число испытаний в n испытаниях. Тогда наблюденная частота успехов сходится по вероятности к вероятности p успеха в одном испытании.

Локальная формула Муавра- Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний велико, причем велики также вероятности p успеха и q неудачи, то для всех kсправедлива формула

, где ,

(Значения функции следует взять из таблицы. Следует учесть, что )

Задача 7.

Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность, что из 200 студентов ровно 10% носят очки.

Интегральная теорема Муавра — Лапласа

Пусть S_n — суммарное число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачиq=1-p. Тогда с ростом n последовательность функций распределения случайных величин сходится к функции стандартного нормального распределения.

Пример.

Найти вероятность того, что при 600 бросаниях игральной кости выпадет от 90 до 120 «шестерок».

Тогда искомая вероятность

Задача 9.38.

Вероятность появления некоторого события в каждом из 800 независимых испытаний равна ¼.

а) Воспользовавшись вторым неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что число X появлений этого события заключено в пределах от 150 до 250.

б) Решите задачу, воспользовавшись итнегральной теоремой Муавра-Лапласа. Сравните полученные результаты.

Ответ: a) P³0,94; б) P"0.9999366

Задача 9

Сколько необходимо провести независимых испытаний по схеме Бернулли, чтобы с вероятностью, большей 0.975, гарантировать , где X_n— число успехов, p=0.5 — вероятность успеха в одном испытании.

1) Получить оценку, используя неравенство Чебышева.

2) Считать применимой интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна p. Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превышает числа ,

т.е. вероятность осуществления неравенства

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа при

Эта вероятность вычисляется по формуле

Задача 10.

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0.7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0.2?

Дома. 9.15, 9.17, 9.37 и оставшиеся задачи из семинара